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公式 1

目次

全称記号

存在記号

述語論理

公式1

公式2

公式3

式の簡単化1

式の簡単化2

TEST

述語論理式に関していくつかの公式が成り立ちます.それらを使って述語論理式を簡単化することもできます.

    1. (∀x)(f(x)) imp f(a) = True

これは　(∀x)(f(x)) imp f(a)　という式が恒真命題であることをいっています.ここで　a は任意の自由変数です.式の意味は明らかでしょう.

    1.は　1'. not (∀x)(f(x))or f(a) = True

    1". (∀x)(f(x))and f(a) = (∀x)(f(x))

の形で覚えてもいいでしょう.　同様に

    2.　f(a) imp (∃x)(f(x)) = True

    2'. not f(a) or (∃x)(f(x)) = True

    2". f(a) and (∃x)(f(x)) = f(a)

もいえます.一般に　A imp B = True, B imp C = True ならば下の理由によって　A imp C = True がいえます.

　 A imp C = not A or C = not A or False or C

= not A or not B and B or C

= (not A or not B)and(not A or B) or C (分配律)

= (not A or not B)and True or C 　　(not A or B = A imp B = Trueより)

= not A or not B or C = not A or True = True.

従って1.と2.から

    3.　(∀x)(f(x))imp(∃x)(f(x))=True

    3'. not(∀x)(f(x))or(∃x)(f(x)) = True

もいえます.あるいは束縛変数を書替えて(∀x)(f(x))imp(∃y)(f(y))=True となります.

    3". (∀x)(f(x))and(∃x)(f(x)) = (∀x)(f(x))

もいえます．