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基本公式4

目次

and or not による表現

基本公式4

ベン(Venn)図

例題

TEST

　xor と and に関して面白い公式が成り立ちます.

    26. A xor B = B xor A (xor の交換則)

    27. A xor B xor C = A xor (B xor C) (xor の結合則)

    28. A and (B xor C) = A and B xor A and C

    (B xor C)and A = B and A xor C and A (xorと and の分配則)

    29. A xor False = False xor A = A

xor は通常の計算の＋に対応し，and は掛け算に対応します．False は 0 に対応します.True は１の役目をします（ A and True = A が言えました）．

    30. A xor True = True xor A = not A
は少し変わった公式です．imp と False, True に関しては

    31. False imp A = True , True imp A = A

    32. A imp True = True , A imp False = not A

また　eqv と　False, True に関しては

    33. False eqv A = A eqv False = not A

    34. True eqv A = A eqv True = A

eqv は等号のように振る舞います. 論理式 P について P = True であるとき単に P と書くと

    35. A eqv A (同一律)

    　　　 36. A eqv B ならば　B eqv A　(反射律)

    37. A eqv B かつ　B eqv C ならば　A eqv C (推移律)

更に

    38. A eqv B = A xor not B = not A xor B

    39. A xor B = A eqv not B = not A eqv B

    40. not(A eqv B)= A xor B

    41. not(A xor B)= A eqv B

    42. A xor A=False

例題　次の式を簡単化せよ。

　　not not B eqv A imp not B eqv A xor (B eqv A) xor (B and A eqv B)

答え：　与式　=B eqv (A imp not B) eqv A xor (not B xor A) xor (B and A xor not B) by 38.
=B xor not(not A or not B) eqv A xor A xor not B xor B and A xor not B by 38.,26.,27.
=B xor not(not A or not B) eqv False xor not B xor not B xor B and A by 42.,26.,27.
=B xor not(not A or not B) eqv False xor B and A by 29.,42.
=B xor not(not A or not B) eqv B and A by 29.
=B xor A and B xor not(B and A) by De'Morgan, 38.
=B xor (A and B xor not(B and A)) by 27.
=B xor (A and B eqv A and B) by 38. Commutativity of "and"
=B xor True by 35.
= not B by 30.