主加法標準形論理式の簡単化

目次

真理値表と主加法標準形

主加法標準形論理式の簡単化

例 not A and B and not C or A and B and not C を簡単化してみる.

=(not A or A)and B and not C 分配則より

= T and B and not C 排中律より

= B and not C

このようにある変数 X についてnot X と X が２つの項に含まれていて,そのほかの変数については同じ形であるとき，X を除いて２つの項をまとめてひとつにすることができるのです（上の例では A を除いた)．この原理を繰り返し用いると更に複雑な式も簡単化できます(or を + , not を上棒, and を積で表します).

　例2

         __     _    _ 　         _     _     _
　　　　ABC + ABC + ABC + ABC = A(B + B)C + A(B+B)C 
              _           _ 
           = AC + AC  = A(C + C) = A

　　　公式　(x1) A xor A=F (x2) A xor B=B xor A (x3) (A xor B) xor C=A xor (B xor C)

(x4) A and (B xor C)=(A and B) xor (A and C) (x5) A xor F=A (x6) A xor T=not A

　　　　　　(x7) A xor not B=A xor B xor T (x8) not A xor not B=A xor B

　　　　ｅｑｖ　についてもいくつかの公式があります。 　　　　　　(q0) A eqv B=not(A xor B)=not A xor B=A xor not B

　　　　　　(q01) A xor B=not(A eqv B)=not A eqv B=A eqv not B

　　　　　　(q1) A eqv A=T (q2)A eqv B=B eqv A (q3) (A eqv B) eqv C=A eqv (B eqv C)

　　　　　　(q5) A eqv F=not A (q6) A eqv T=A

　　　　　　(q7) A eqv not B=A xor B (q8) not A eqv not B=A eqv B

　　　これらを使うと、例えば　(not B eqv C)and C　の簡単化は 　　　　　　=(not B xor not C)and C by (q7),(q2)

　　　　　　=not B and C xor not C and C by (x4)

　　　　　　=not B and C xor F

　　　　　　=not B and C by (x5)

　　　となります。更に　(not B xor(A xor C and(C xor B)))and (A xor C and(C xor B))　の簡単化は

　　　　　　X=(A xor C and(C xor B)) 　と置くと、

　　　　　　与式=(not B xor X)and X = not B and X xor X and X by (x4)

　　　　　　　　=not B and X xor T and X

　　　　　　　　=(not B xor T)and X by (x4)

　　　　　　　　=B and X by (x6)

　　　　　　　　=B and (A xor C and(C xor B))

　　　　　　　　=B and A xor B and C and (C xor B) by (x4)

　　　　　　　　=B and A xor (B and C and C xor B and C and B) by (x4)

　　　　　　　　=B and A xor (B and C xor B and C)

　　　　　　　　=B and A xor F by (x1)

　　　　　　　　=B and A by (x5)

　　　　　　　　=A and B

このように工夫すると、ｘｏｒやｅｑｖをａｎｄやｏｒに展開しなくても式の簡単化ができることがあります。