位相空間論 第4章 部分空間

第2節 連続写像と部分空間

目次


第1節 定義

第2節 連続写像と部分空間


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第4章 第2節 連続写像と部分空間

 X=(A1T1) : topological space
 B A1 とします。
 X|B
 i : B A1
 恒等写像とします。これはどういうことかというと
 dom i = B
 x B i(x)=x

[theorem]
 i continuous
proof 
 G is open (in X)
(i-1G) =x : xB & i(x)G
     ={x : xB & xG}  
     = BGT(x|B) open in X|B
q.e.d

subspaceにおいてsubspaceからxxx空間へ恒等写像を考えると、それは連続になっ
ています。逆も真です。

例 X = (A, T)
  A = (- , )
  B ={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}整数全体の集合
  X|B : subspace of X
  icontinuous, B A 
  1点だけ{2}はX|Bopen
)
    open in X      B
このように任意の1点集合がopenになる位相空間を離散的(discrete)といいます。 
discreteの時
 T = boolAになっている全てのsubsetopen

[theorem]
  X=(A1 , T1) : discrete
  Y=(A2 , T2) : topological space
  f:XY map
   f is continuous

注)discrete spaceは本質的にはsetと同じです。
  全てのsubsetopenになり、全然面白くありませんしそれだと近さ、変形の議論が
できず、みんなばらばらになります。
finite topological spacesettopological spaceの中間です。