位相空間論 第4章 部分空間

第1節 定義

目次


第1節 定義

第2節 連続写像と部分空間


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第4章 第1節 定義

 この節でもまず2つの位相空間を考えましょう。
X = (A1 , T1) , Y=(A2 , T2) : topological space
このとき、 XYの「部分空間」(subspace)である、とは
 A1 A2 であり、かつ 
 (P)(P is subset of X
 ( P T1  (∃Q)(Q is Subset of Y and Q ∈ T2 and P = Q ∩ A1 )) )
がいえるときです。

 すなわち、部分空間の位相というのは、A2 の位相に属する集合と A1 との共通部分の全体なのです。

例1


  
2
 A2 = (-, )
 A1 =( 0, 1]

  
  
 Q :open in A2
 
 A1A2の部分空間です。

 いくつか定理を挙げます。

[theorem]
  X = (A1 , T1) , Y = (A2 , T2) : topological space
  XYsubspace
  DXopen
   (Q)(Q T2 & D = Q A1)

[theorem]
  X = (A1 , T1) , Y = (A2 , T2) : topological space
  XYsubspace
  DXclosed
   (Q)((Q is closed in Y) & D = Q A1)

[theorem]
   X = (A1 , T1) : topological space
   BA1subset of X
   X | B を下のように定義するとこれは Xの部分空間(subspace)になる。
   X | B の台は、 B .
   X | B の位相 (Topology) TBに制限したもの。すなわち、 T =D B : DT1

また例をいくつか挙げます。

例3 A1 = R'=(- , )
  T1 : 開区間など

 X=(A1 , T1) ,  B =P : Pは有理数}
 X|B はXsubspace
  
  
   (− , ι) (ι , +) = B
       有理数のみ
 Bは(Bの)2つのopen setの和で書けます。
 (空でない、共通部分もない)
 R'はそのようにはできません。
  

例4 A1 = R3 , T1=開領域から作られるtopological space
       X=(A1,T1)
B 円筒
X|B 円筒の表面だけを考える位相空間 


例5
メビウスの帯。3次元空間 X の中で、帯の部分を B とし、部分空間 X|B を考える。