位相空間論 第3章 連続写像、位相同型

第2節 位相同型

目次


第1節 連続写像

第2節 位相同型


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第3章 第2節 位相同型

 この節では位相同型写像の定義をしましょう。これは連続より強い条件です。今2つの位相空間と一方から他方への写像 f を考えます。
 (
A1 , T1) , (A2 , T2) : Topological Space
  f : A1 A2 mapping
  one-to-one ontoであるとします。
i.e. x1 , x2 dom f & (f(x1) = f(x2) x1 = x2) & rng f =A2
そして f の逆関数が連続のとき ( f-1
is continuous)、
この時  f は「 位相同型」(homeomorphism)であるといいます。

つぎにいくつか例を見ていきましょう。

1
  
 11でない
continuousですがhomeomorphismではありません。

2
   
 11
 continuousf-1continuous
homeomorphism

3
 homeomorphism 

切らず、重ねずのmapが位相同型です。
引っ張ったり、縮めたりはかまいません。

 また位相同型に関する定理をいくつか挙げます。

[theorem]
  (A1 , T1) , (A2 , T2) topological space
  D is open (in A1) , f is homeomorphism
   fD is open (in A2)

[theorem]
  D is closed
   fD is closed
  {q : (p)( pdomf & q=f(p) )

  D is dense
   fD is dense

  f(FrD) = Fr(fD)

  f(IntD) = Int(fD)

  f(ClD) = Cl(fD)

f : homeomorphism A1 A2の時

空間が異なってもopen, closedなどの性質、それらの間の関係などは同じですから、位相
幾何学は空間において位相同型によって保たれる性質を研究する学問です。

[theorem]
 A1 A2 ,  A2 A3
  f     g

 f, g : homeomorphism
  g*f homeomorphism


[theorem]
 A1 A2
  f

 f: homeomorphism f-1homeomorphism