位相空間論 第3章 連続写像、位相同型

第1節 連続写像

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第1節 連続写像

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第3章 連続写像、位相同型

 今次のように2つの位相空間を考えます。
 (
A1 , T1) : 位相空間
 (A2 , T2) : 位相空間
 また次のような写像 f を考えます。
  写像
mapping
 dom f = A1  f の定義域はA1
 rng f A2   f の値域はA2に含まれる。
そしてこの f について次の式が成り立つとしましょう。
F)(F is closed (in A2) f-1(F) is closed)
 この時 f 「連続写像」continuous)といいます。
     
連続関数を一般化した概念が連続写像です。
この連続写像の定義は簡単でclosed集合の逆像がまたclosed集合になる時にfを連続写像
といいます。ところが連続関数の定義は大変で、大学の教養で数学の先生が言う定義は、
   fが連続関数とは
    (x)(ε)(ε>0 (δ)(δ>0 & (y)(|x-y|<δ) |f(x)-f(y)|<ε))
どうです。ややこしいでしょう。
しかしこれより一般的な連続写像の定義は簡単で
    ”閉集合の逆写像は閉集合になる”
なぜ簡単かというと、開集合や閉集合の概念を勉強してきて、それを使っているからです
どうして閉集合の逆像が閉集合ということが連続性の定義になっているのか説明します。


 


単調でなくても
 
 3箇所に分離します。

closed setを有限個unionするとclosedです。ただし無限個unionするとclosedとは限り
ません。open setは有限個intersectionをとった時はopenですが、無限個intersection
をとった時はopenとは限りません。unionopenの時いくら取ってもよく、closedの場
intersectionをいくら取ってもかまいません。

連続である、ないという考え方は実は位相空間の概念だったのです。ユークリッド空間の
概念でもないし、実直線の概念でもないのです。逆にユークリッド空間は位相空間ですし、
実直線は位相空間だから結局同じですが、連続という考え方は位相空間的考え方です。

 2つの定理と6つの例を以下に挙げます。


[theorem]
fが連続(continuous) (G)(G is open f-1(G) is open)
 連続写像の定義ではclosedでしたが、openでも良いのです。
 もっと直接的には、(∀B)( B ∈ T2 implies f-1B ∈ T1) でいいのです。つまり、T2 の中の集合の逆像がみな T1 に属すれば f は連続です。


[theorem]
(A1, T1) , (A2, T2) , (A3 , T3) : Topological space
 f : A1 A2  continuous
 g: A2 A3  continuous
  g*f continuous A1 A3
注)g*f 合成写像   
  (g*f)(x) =g(f(x)) 

例1
   continuous 
              
    A1=(-
    A2=(-


2
 A1 = (- , ) : T1
 A2 = (- , ) : T2
                  continuousでない
   

3 f1 : 2と同じ
  (f1 * f1)(x) = asin(asinx)
 a=1.5 の時、sinと同じような形(点線)
 a=3 の時、凹んだ形(実線)


例4 A=R2  2次元空間 , T
 
 行列も写像 R2 R2
 線形写像 (Linear mapping

5 A = R2 \{(0 , 0), T  原点を除く
   
   外と内を引っくり返す写像
   
   

                          

   地球儀       メルカトール図法 これを引き伸ばせば世界地図
    北極と南極を除く 円筒にmapping     not cont
                      切り開いてはいけません。
                     近さが保たれるのが連続写像だからです。
  注)連続写像は11でなくてもかまいません。

ゴムの図形  
  引っ張る、くっつける (変形)は連続の範疇です。
  切る (not cont)