位相空間論 第2章 閉包、内部、境界、稠密

第4節 稠密

目次


第1節 閉包

第2節 内部

第3節 境界

第4節 稠密


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第2章第4節 稠密

   を位相空間(Togical Space)とします。
  D A なる集合 D を考えます。 
 cl D = Aの時、Dを稠密、denseであるといいます。
 A自身はdenseです。

 DAsubsetであるがcl をとると全体になります。

 例として2次元平面内の有理点(座標値がx、yともに有理数)の全体 D を考えます。従って座標値がeやπといった無理数の点は含まれません。この D は平面全体を A とすると稠密になります。 


稠密性に関し次のような定理が成立します。

[theorem]
    D1 D2 のとき、
    D1 : dense  D2dense


さきほどは2次元の例を出しましたが、1次元の数直線内の開区間 A の例はもっと簡単なものです(有理数は英語でrational number です)。

例 D = x : x is rational and x is in A
このとき D は稠密です。