位相空間論 第2章 閉包、内部、境界、稠密

第1節 閉包

目次


第1節 閉包

第2節 内部

第3節 境界

第4節 稠密


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第2章 閉包、内部、境界、稠密

  を位相空間とします。また
 D を位相空間 Tiの部分集合とします。
  (D A(the carrier of Ti))



この D に対し、 cl D (Dの閉包、Dclosure(クロージャー)といいます)は
 (P)(PA Pcl D G : subset of Ti
             G is open & PG DG<>φ) 
で定義されます。すなわち、 Pを元とする全ての開集合GDが共通部分を持つようなPの集まりがcl Dです。
 
   PD
   GDφ
  Dcl D 
 Dの中にPが入っていればGをどんなに小さくとってもGDはインターセクションが
あります。(空でない)
 cl DD自身とDの境界を合わせた集合です。
  


 閉包は、包むように境界まで入れてしまう。ですから一般にcl DDより大きくなりま
す。

[theorem]
 cl A is closed
 cl (AB) = (cl A) (cl B)
 cl (AB) (cl A) (cl B)
[theorem]
 cl D = F : F is closed
   = F : F is closed & D F
[theorem]
 D is closed D = cl D