位相空間論 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

第4節 開集合、閉集合

目次


第1節 はじめに

第2節 トポロジー

第3節 トポロジーの例

 第4節 開集合、閉集合


テスト

Logをみる

Back
 

第1章 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

 
とすると

 定義 1.

  Tの元を開集合(open set)という。

  "トポロジー"で開区間がトポロジーに関係ありそうだと書きました。
 領域も境界を含まないというのが開区間に似た性質でした。openということとトポロ
ジーということは密接な関係があります。これは言葉の定義だけですが、Tの元を開集合
ということにしましょう。
 定義 2.
次のような集合 b を閉集合(closed set) という。


     (ここで -aaの補集合(Complement)acとも書きます)。

 

 開集合は饅頭の皮をはいだもので、閉集合は皮をつけたものです。
 トポロジーは皮をはいだ物だけ集めます。開集合は言葉だけですが、閉集合は開集合の
補集合という事です。

  開区間 … 開集合
   閉区間 … 閉集合
  半開区間 … どちらでもない

  
円筒の例のように01を除いて考えます。全体が狭められている時は、全体の空間に元々
ある境界は考慮に入れないで開集合、閉集合を考えましょう。

性質1
    a , b : 開集合
     a b も開集合    ()の性質より

性質2
    a, b : 開集合
     a b も開集合    ()の性質より

 B =a , b }とすると union B=a b T
 開集合は共通部分も開集合で、また合併(union)もまた開集合という性質を持ちます。

性質2' 
    a : 開集合  -a : 閉集合
性質2'' 
    a: 閉集合  -a : 開集合

 (b)(b T & a= -b)
  a = -b
 -a = --b
   = b
 -a:開集合 bは開集合

性質3
    a, b : 閉集合  a b も閉集合 , -a:開集合

 (ab)
   = --(ab)
   = -((-a)(-b))   ドモルガンの法則 
 性質1、性質2’より
   a b は閉集合

性質4
    a, b : 閉集合  a b も閉集合  ( intersection)

性質5
    F : closed set のある集合
         i.e. (a)(a F  implies  a is closed)
        任意のaFに属するならばaclosed  

 meet F is closed

  union Fの対極にあるものでFの中の全ての元のintersectionを取ることです。

  例えば F=a1, a2, a3, …}
    meet F = F
       = a1 a2 a3
  
  例えば F=a1, a2, a3, a4

性質6 
   A : carrier
   T : topology
   A T & T
   i.e. A is open なら
    { is open    
     A is closed なら
    { is closed
 { }はopenかつclosed 

   BT
   unionBT
   union }={ T

  注意: A : 集合
      T: Asubsetの集合

例 X=(A,T) とし、A={1,2,3}, T={{},{1,2,3},{1},{2},{1,2}} とおくと、X は位相空間に なります(台A と空集合が T に属し、また T の任意の2つの要素のunion と intersection がまた T に属するので)。
 このとき、1点集合 {1} と {2} は T に属しているので、開集合ですが、閉集合ではありません。{3} は開集合{1,2}の補集合なので閉集合です。しかし、開集合ではありません。


 以下はMizarという数学言語を使って勉強したい、という人のための説明で、読み飛ばして結構です。
 例えば

 a is subset of A a is set とは差があります。
 subset of Aなら集合ですが、集合だからといってAsubsetとは限りません。
 集合はAより大きいかもしれませんし、全然ちがう次元にある集合かもしれません。
 Asubsetとは特別な属性(Attribute)です。特別な属性を持つ集合だけを持ってきた
 のがトポロジーです。ですからA自身はAsubsetではありません。
 AAに属しているけれどsubset of Aではありません。
 AA だけれど subset of Aではない。つまりそういう属性を持たない、一般的なset
 です。そういう属性を持ったsetということを強調するために、[#]Aという書き方を
 することがあります。一般の数学者は使いませんがMizarで論理的にきちんとした
 数学をやろうとするとこの属性を持ったAと一般のAを区別しないといけないことがあ
ると分かったのです。
   [#]A = A     集合としては同じですが属性が違います。
 そうするとA is openは正しくなく、[#]A is openの方が正しくなります。
 { is set
 
 あるいは
 
 Tiは位相空間ですが実はAと同じです。
  (位相空間のsubset) (キャリアのsubset)は集合としては同じですが、open
という場合openですが、openではありません。