位相空間論 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

第3節 トポロジーの例

目次


第1節 はじめに

第2節 トポロジー

第3節 トポロジーの例

 第4節 開集合、閉集合


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第1章 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

トポロジーの具体的な例を挙げましょう。


(1)
  赤実線で囲んだ集合をBとして選んだ場合
      
  青実線で囲んだ集合をBとして選んだ場合
      

(2)
  黒点線で囲んだ集合をa,bとして選んだ場合


  黒実線で囲んだ集合を選んだ場合
     

どの組み合わせで持ってきても、必ずそれらの共通部分はTに入っています。{
2}と{3}には共通部分がありません。
 Tとして全ての部分集合を持ってきてしまえば(2A)、トポロジーになっています。 ただこれはあまり
面白くないトポロジーです。どんな集合も全て開区間的な性質を持っているという
ことになってしまい、集合自体とあまり変わらない位相空間です。

例2
 A=R2 2次元のユークリッド空間
 T={境界を含まない集合(領域)}
 




 a
 union B


これらは、とてもトポロジーの性質をよく表している例です。2次元の図形で境界を含
みません。例えばお饅頭だとすると皮を取って(皮が境界なので)集めたものがトポロジ
ーです。

例3
   
    但し縁は含む

 円筒形を考え、この上での領域を考えます。
 2次元と違うのは立体的な形をしているのと、縁について考えなければいけないことで
す。縁はもともとの台の境界ですので領域とは考えません。そうすると(1)と(2)の
性質を満たします。