位相空間論 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

第2節 トポロジー

目次


第1節 はじめに

第2節 トポロジー

第3節 トポロジーの例

 第4節 開集合、閉集合


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第1章 第1章 位相空間 −開集合、閉集合−

この節で述べることは、ゴムの幾何学にとっての1番本質的なところです。

 A という一般の集合を考えます。
これだけではゴムを表現できません。集合というのは元同士がばらばらに
してもよいものです。順序などをバラバラにしても 全体として同じ物であれば、同じ集合であると考えます。集合は 一番激しい変換を対象物に加えた時の学問であるといえます。
 それでは単なる集合にある種の構造を入れましょう。具体的には集合Aの他にAの部分集合がなすある集合族Tというのを併せ考えるのです。すなわち、 
    T 2A  2A べき集合(Aの部分集合の全体)

 ここで、 Tが次の3つの性質をもつとします。
 (0) A , φ T
 (1) B T union B T
  Tの中からBという部分集合を持ってきます。Bの中のものを全て寄せ集めたもの 
  (union B)がTに入ります。
 (2) a , b T a b T
  aとbがTの要素であるとすると、aとbは集合でその共通部分はTに入ります。

この3つをTが満たす時、Tをトポロジー(topology)といいます。
この時、
Tps=(A,T) を位相空間(topological space)
    ATpsの台(the carrier、位相空間の土台になるものという事です。)    
    TTpsのトポロジー(位相、topology)
といいます。
Aだけなら単なる集合ですが、そこにTという集合の集合が加わってくると位相空間とい
われるものになります。

これが何なのかという例を示しましょう。
1
   

(0)A=(0, 1) (0,1)となり
   AT
(1)元が2つだけの集合を考えましょう。これはTの部分集合です。
   


(2)a,b T

    
 このように開区間あるいはそれらのいくつかを寄せ集めたもの(実は無限個寄せ集めて
も良い)がトポロジーです。無限個寄せ集めても良いというのが1つの大事な所です。

次に無限個の例を示します。
2
  T
  
  
  
   

  nが大きくなっていくと
  に限りなく近づきますがにはなりません。

  無限にunionしてもに入ります。

 次にこの例を閉区間で考えて見ましょう。
3


    
  
 つまりにはならないので、半開区間となり(1)の性質が満たされません。
 (1)と(2)は開区間の性質を反映しているような条件です。閉区間では上手くいき
ません。