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いろいろな集合の濃度

目次

自然数と超越数

濃度

無限個の直積

アレフと連続体仮説

いろいろな集合の濃度

TEST

   まず可算無限のもの。

定理 1: 無限の序数(超越数)のうち最小のものは可算無限である。

・E を偶数全体の集合とすると、 E ⊆ NAT なので2節公式1より Card E ≦ Card NAT。 そして偶数は無限にあるので定理1より Card E = Card NAT (= NAT). すなわち偶数全体は加算濃度をもつ。

・奇数全体も同様に加算濃度をもつ。

・自然数の対の全体

  NAT × NAT = {(i,j): i and j are natural numbers}

も可算無限。その理由は次の図のように対を順番付けることができる(NAT から NAT × NAT への一対一、ontoの写像 f が存在する)から。

定理 2: X ,Y ともに可算濃度の集合ならば X ∪ Y も可算濃度である。

   また X ,Y ともに連続濃度の集合ならば X ∪ Y も連続濃度である。

   更に X ,Y ともに関数濃度の集合ならば X ∪ Y も関数濃度である。

  ・整数全体の集合は負で無い部分と負の部分の和だから、そして両方とも可算無限だから、整数全体も可算無限濃度である。

・有理数全体の集合は、その負で無い部分と負の部分の和集合である。負で無い部分は n/m という(分母子が自然数の)既約分数で表せる。そしてそれは (n,m) という対の一部と同値である。対は可算無限なので、負で無い有理数の全体も可算無限。同様に負の部分も可算無限。よって定理2から有理数全体も可算無限である。


 また対の全体を順番付けたことから分かるように、

定理 3: X ,Y ともに可算濃度の集合ならば X × Y も可算濃度である。

更に次のこともいえる(理由を考えてみよう)。

定理 3’: X ,Y ともに連続濃度の集合ならば X × Y も連続濃度である。

定理3’より、

・平面の点の全体は連続濃度である。3次元空間の点の全体も連続濃度である。