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無限個の直積

目次

自然数と超越数

濃度

無限個の直積

アレフと連続体仮説

いろいろな集合の濃度

TEST

   前章で3個以上の直積について学びましたが、無限個の直積を考えることもできます。n個の直積は

A1×A2×A3×...×An = { x : x is a mapping from {1,2,...,n} to X and (∀i)(1≦i and i≦n imp x(i) ∈Ai)}

と書けましたが、加算無限個の Ai (⊆ X)の直積は次のように定義されます。

   Ai = { x : x is a mapping from NAT to X and (∀i)(0≦i imp x(i) ∈Ai)}

 また全ての Ai が X に等しいときこれを

   XNAT

と書きます。

 一般に集合 Y に対して,集合 X の Y 乗

XY

も同様に定義できます。すなわち

    XY = {x: x is a mapping from Y to X}

です。Y から X への写像の全体の集合です。

  例1 [0,1] 区間の実数の全体。この区間の実数は10進の小数、例えば

    0.7250432...

のように表せる。小数以下は0から9の数の無限列である(0.82 は0.81999999... と考える)。

従って[0,1] 区間の実数は、

      {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}NAT

の要素で表せる。

例2 実数 x に対して定義された、実数値の関数 f(x) は

       REALREAL

の要素で表せる。 ここに REAL は実数全体の集合である(R または R1 と書くこともある)。

例3 X を集合とし、その部分集合の全体を bool X と書く。即ち

    bool X = { A : A ⊆ X}

とすると、この集合と次の直積集合

    {0,1}X

との間には一対一、ontoの写像 f が次のようにして作れます。

    g = f(A) として

    g(x) = 1 ... x ∈ A のとき、

       = 0 ... その他のとき

のように写像 g を定義します。ならば g は {0,1}X の要素です。 この f は一対一、ontoの写像であることが分かります。