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濃度

目次

自然数と超越数

濃度

無限個の直積

アレフと連続体仮説

いろいろな集合の濃度

TEST

   集合 A と集合 B が同値である(A and B are equipotent)というのは写像 f が存在して

      f is one-to-one and dom f = A and rng f = B

となるときです。このとき f を A と B の間の一対一の対応である(one-to-one correspondence)といいます。

 序数 B について、任意の序数 X と B とが同値であれば B ⊆ X となるとき、B を濃度(Cardinality)といいます。すなわち同値な序数のうち最小のものを濃度(Carinality)というのです。また基数(cardinal Number)ということもあります。

 0,1,2,3,4,... はそれぞれ濃度であり、基数でもあります。  一般に任意の集合 Y に対して濃度 D が存在してそれらは同値になることが知られています。そのような濃度は唯一存在します(exists uniquely, 「Y と D が同値、かつ Y と E が同値 ならば D = E」ということ)。従って

   D = Card Y または D = card Y

と書くことにします。すなわち Card Y は Y と同値な濃度を表します。

Card X, Card Y は2つとも序数ですから Card X ⊆ Card Y または Card Y ⊆ Card X がいえます。すなわち、

  Card X ≦ Card Y または Card Y ≦ Card X

      がいえます(濃度は well ordered)。すなわち濃度には大小関係があります。

 0,1,2,3,4,...すなわち自然数nの濃度は、有限濃度(finite carinality)といい、有限濃度と同値になる集合を有限集合(finite set)といいます。それ以外の濃度は無限濃度(infinite cardinality)といい、無限濃度と同値になる集合を無限集合(infinite set)といいます。無限濃度は超越数でもあります。でも超越数はかならずしも無限濃度ではありません。

 自然数全体の集合 NAT は無限濃度であり、無限集合でもあります。

 濃度 NAT をアレフ0(alef 0, アレフゼロ)といい、ヘブライ文字のAにあたるものを使って 0 と書くことがあります。 これは最も小さな無限濃度であることが証明できます。

 この無限濃度(アレフ ゼロ)を可算無限(countable infinite)ということもあります。

 濃度に関して次のような公式がいえます。

公式1 A ⊆ B imp Card A ≦ Card B

公式2 (∃f)(f is a mapping from A to B and f is one-to-one) imp Card A ≦ Card B