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写像のグラフ

目次

関係とは

半順序集合

同値関係

写像のグラフ

テストの前に

TEST

 集合 A から集合 B への写像 f を考えます。このときこの写像 f を「関係」としてみることができます。それは R として

 R = {(x,f(x)): x ∈ A }

を考えますと、これは直積集合 A×B の部分集合であり、従って「関係」であることが分かります。

 これはまさに関数のグラフそのものです(関数は写像です)。例えば f(x) = x2 という写像(関数)のグラフは

 R = {(x,x2): x は実数}

という2次元空間内の集合です。従ってまさに「関係」はグラフそのものなのです。

 この場合のグラフの図は次の通りです。

 写像を集合 A 全体で定義されているとせず、一部でだけで定義されている、と考えることもできます。例えば f(x) = sqr(x) のような場合(ルートx)です。この場合もこの写像は関係 R = {(r,sqr(r): r ≧ 0} に対応させることができます。dom R は r ≧ 0 なる実数の全体です。 rng R もまた r ≧ 0 なる実数の全体です。

 前にも述べましたが、関数(または写像)の定義域と関係の定義域は(関係が関数の場合)一致するのです。

 それでは関係 R が関数(または写像)であるといえるのはどんな場合でしょうか? それは R の定義域 dom R から任意の要素 x をもってきたとき (x,y) ∈ R となる y が唯一存在するときです。論理式で書きますと

(∀x)(∀y1)(∀y2)( (x,y1) ∈ R and (x,y2) ∈ R imp y1 = y2)

のとき R は関数(function)になります。というよりこれが関数の定義なのです。