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関係とは

目次

関係とは

半順序集合

同値関係

写像のグラフ

テストの前に

TEST

集合 R が関係(relation)とは、任意の R の要素が対で表せるときです。従って R はある直積集合 A × B の部分集合と考えられます。

 例えば

  A = {2,3,4,5}

とし、

  B = {4,27,64,9}

としたとき、

  「a の3乗が b になっている」という関係は( a は A の要素、b は B の要素とする)

 R1 = {(3,27),(4,64)}

という直積集合 A×B の部分集合R1に対(a,b) が属していること、として表せるのです。同様に

  「a の2乗が b になっている」という関係は( a は A の要素、b は B の要素とする)

 R2 = {(2,4)}

という部分集合R2 に対(a,b) が属している、ということで表せます。

 「関係」というのは通常言葉で表しますが、集合論的にはこのように集合で表すのです。

 面白いのは関係を表す言葉と、関係を表す集合との間に次のような対応があることです。

 否定: 「a の3乗が b になっていない」 ..... R1' (R1 の補集合)  論理和: 「a の3乗が b になっている、またはa の2乗が b になっている」

                      ..... R1 ∪ R2 (R1 と R2 の和集合)

 論理積: 「a の3乗が b になっている、かつa の2乗が b になっている」

                      ..... R1 ∩ R2 (R1 と R2 の積集合)

関係 R の 定義域(ていぎいき domain) dom R というのは

     dom R = {a: a ∈ A and (∃b)( b ∈ B and (a,b) ∈ R)}

というA の部分集合です。すなわち、(a,b) が R に属すような a の集合です。

 上の例では dom R1 = {3,4}, dom R2 = {2} です。

 次に関係 R の 値域(ちいき range) rng R というのは

     rng R = {b: b ∈ B and (∃a)( a ∈ A and (a,b) ∈ R)}

というB の部分集合です。すなわち、(a,b) が R に属すような b の集合です。

 上の例では rng R1 = {27,64}, rng R2 = {4} です。

 すると次のような式が成立します。

 1.x ∈ dom R imp (∃ y)( y ∈ rng R)    ここで imp はIMPと同じ。含意のこと

 2. y ∈ rng R imp (∃ y)( x ∈ dom R)

 3. P ⊆ R imp dom P ⊆ dom R and rng P ⊆ rng R

 4. rng(P ∪ R) = rng P ∪ rng R 

 5. rng(P ∩ R) ⊆ rng P ∩ rng R 

 ここで定義域、値域の意味がはっきりする別の例をあげます。

 A = R1 (R1 は実数全体の集合) とし、B=R1 とします。このとき  R = {(a,sqr(a)): a≧0} とします。ここで sqr(a) は a の平方根(ルート)のことです。すなわち R は 「b は a の平方根である」 という関係です。

 このとき dom R は負で無い実数の全体になり、rng R も同様に負で無い実数の全体になります。すなわち平方根というのは負で無い実数に対してのみ定義されており(定義域は負で無い実数全体)、また平方根の値全体はやはり負で無い実数全体です(平方根の値域は筆無い実数全体)。

 これは通常の関数の定義域や値域の概念と一致します。