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3つ以上の直積集合

目次

直積集合

3つ以上の直積集合

テストの前に

TEST

集合の直積は3つ以上の場合にも拡張できます。その前に3つ以上の元の対(対というより組というべき)を定義しておかなければなりません。元x,y,zの組(tuple)

(x,y,z) と書きます。その定義は

(x,y,z) = ((x,y),z)

で与えられます。対を組み合わせることで、組(この場合3つ組(triplet)ということもある)が定義できるのです。

同様にして4つ組、5つ組、6つ組、...も考えることができます。

即ち、

(x,y,z,u)=((x,y,z),u) ... 4つ組 quodraplet

(x,y,z,u,v)=((x,y,z,u),v) ... 5つ組 quintaplet

(x,y,z,u,v,w)=((x,y,z,u,v),w) ... 6つ組 sextuplet

.......... です。

またn個の組も考えられます。即ち、

(x1,x2,x3,...,xn) n−tuple といいます。これは

集合{1,2,3,...,n} から集合Xへの写像と考えることもできます(xi がXの元であるとして)。なぜなら1以上でn以下の番号 i を与えると集合Xの元が一つ定まるからです。これは後で無限個のtupleを考えますが、そのとき重要な考え方になりますので、よく覚えておいてください。 さて3以上の組ができますと、3以上の集合の直積も考えることができます。例えば

A×B×C = {(x,y,z): x∈A and y∈B and z∈C}

A×B×C×D = {(x,y,z,u): x∈A and y∈B and z∈C and u∈D}

は容易に理解されるでしょう。

n個の集合 A1,A2,A3,...,An の直積は

A1×A2×A3×...×An = {(x1,x2,x3,...,xn):(∀i)(1≦i and i≦n imp xi ∈Ai)}

として導入できます。あるいは Ai ⊆ X として

A1×A2×A3×...×An = { x : x is a mapping from {1,2,...,n} to X and (∀i)(1≦i and i≦n imp x(i) ∈Ai)}

とも書けます(理由を考えてみてください)。

例 Rを実数全体の集合とすると、 3次元のユ−クリット空間は R×R×R と書けます。

例 相撲の力士の1つの場所の成績は、A={○,●} として直積集合

A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A

の元で表わせます。