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目次

部分集合

写像

TEST

f を A から B への写像とし,C を A の部分集合とします( C ⊆ A). このときつぎのような集合を考えます.

     {y: (∃x)(x ∈ C and y=f(x))}

この集合を C の f による像(Image)といい, f(C) という記号で書きます. f(C) はすべての C の元を写像 f によって対応させた対応先の集まりです.公式として

    1. f(C) ⊆ B

    2. C1 ⊆ C2, C2 ⊆ A のとき f(C1) ⊆ f(C2)

    3. C1 ⊆ A, C2 ⊆ A のとき f(C1∪C2) = f(C1)∪f(C2)

    4. C1 ⊆ A, C2 ⊆ A のとき f(C1∩C2) ⊆ f(C1)∩f(C2)

また集合 A を写像 f の定義域(Domain)といい, A=dom(f) または =Dom(f) と書きます. f(A) を写像 f の値域(Range)といい, f(A)=rng(f) または =Rng(f) などと書きます. B=rng(f) のとき写像 f は, A から B の上への写像(a mapping from A onto B)であるといいます. onto とは限らないとき into であるというときもあります.

 (∀x)(∀y)(x∈A and y∈A and f(x)=f(y) imp x=y)

がいえるとき写像 f は一対一(one to one)であるといいます.このとき上の4.で等号が成り立ちます.最後に像の例をあげます. 

       A={1,2,3,4,5}, C={2,5}, f(i)=i+3 のとき

       f(C) = {2+3,5+3} = {5,8} となります.

       g(j)=5-j なら

       g(C) = {5-2,5-5}= {3,0} となります.