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和集合

目次

集合の概念

和集合

積集合

補集合

集合算

包含

TEST

A={x: P(x)} と B = {y: Q(y)} とが集合であるとき, R(z) = P(z) or Q(z) は新しい一つの述語命題になりますので,  C = {z: R(z)} という新しい集合が考えられます.これを集合 A と B の または 和集合(Union) といいます.また C = A U B と書きます.述語命題 P(x) は x ∈ A と同値であり, Q(x) は x ∈ B と同値であるので

A U B = {x: R(x)} = {x: P(x) or Q(x)} = {x: x ∈ A or x ∈ B}

が成り立ちます.つまり A と B の和集合は A か B かに属する元の集合です.いくつか公式をあげると

    1. A U A = A

    2. A U B = B U A (交換則) 

    3. A U B U C = A U (B U C)   (結合則)

    4. A U φ = φ U A = A

がいえます.また A={a,b,c}, B={b,c,d} とすると A U B = {a,b,c,d} になります.

 和集合を図で表しますと、次のような図になります。A と名付けた楕円の内側が A に属する要素全体を表します。B についても同様です。和集合は A, B どちらかに属する要素全体ですから、赤で塗った部分が和集合を表すことになります。