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積集合

目次

集合の概念

和集合

積集合

補集合

集合算

包含

TEST

和集合のときと同様に積集合を定義できます.

A={x: P(x)} と B = {y: Q(y)} とが集合であるとき, R(z) = P(z) and Q(z)は新しい一つの述語命題になりますので, C = {z: R(z)} という新しい集合が考えられます.これを集合 A と B のまたは積集合(Intersection)といいます.また C =A ∩ Bと書きます.述語命題 P(x) は x ∈ A と同値であり, Q(x) は x ∈ B と同値であるので

A ∩ B = {x: R(x)} = {x: P(x) and Q(x)} = {x: x ∈ A and x ∈ B}

が成り立ちます.つまり A と B の積集合は A と B 両方に属する元の集合です.いくつか公式をあげると

    1. A ∩ A = A

    2. A ∩ B = B ∩ A (交換則)

    3. A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C)   (結合則)

    4. A ∩ φ = φ ∩ A = φ

がいえます.また A={a,b,c}, B={b,c,d} とすると A ∩ B = {b,c} になります.他の公式として
    5. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) (分配則)

    6. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (分配則)

    7. A U (A ∩ B) = A

    8. A ∩ (A U B) = A

などがいえます. 和集合の場合と同様に積集合を図で表すと、