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包含

目次

集合の概念

和集合

積集合

補集合

集合算

包含

TEST

 ある集合 A がある集合 B に含まれる(A is included by B)、または A が B に包含されるというのは

(∀x)( x ∈ A imp x ∈ B )

なる論理式が成立するときです。すなわち A の要素 x を任意にもってくればそれは B に属す、という条件が言えるときです。このとき記号で

          A ⊆ B

と書きます。図で描くと

のようになります。

 A ⊆ B のとき A は B の部分集合である(A is a subset of B)、ともいいます。

 包含に関し、次のような公式が成立します。

公式1: A ⊆ B and B ⊆ A eqv A = B

すなわち2つの集合が等しいことの条件は A が B に含まれると同時に B が A に含まれることです。実はこれは2つの集合が等しいことの定義なのです。

公式2: A ∩ B ⊆ A

公式3: A ⊆ A ∪ B

公式4: A ⊆ B eqv B' ⊆ A'

公式5: A ⊆ B and B ⊆ C imp A ⊆ C

公式6: φ⊆ A

公式7: A ⊆ φ imp A = φ

公式8: A ∩ B = A eqv A ⊆ B

公式9: A ∪ B = A eqv B ⊆ A

例1 N を自然数全体の集合、Z を整数全体の集合、P を有理数全体の集合、R を実数全体の集合とすると、

   NZ

   ZP

   PR

がいえる。勿論

   NR

である。

 A ⊆ B であって A = B でないとき、 A ⊂ B と書き A は B の真部分集合(しんぶぶんしゅうごう)である(A is a proper subset of B)といいます。

 書物によっては通常の部分集合に記号⊂を用い、真部分集合に記号またはを使うこともあります。