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補集合

目次

集合の概念

和集合

積集合

補集合

集合算

包含

TEST

A = {x: P(x)} が集合であるとき {x: not P(x)} を A の補集合(Complement)といい, A' または A と書きます.これは A に属さない元の集まりです.公式は
    1. A'' = A    (回帰律)

    2. A'''=A'

    3. (A ∪ B)'=A'∩ B'  (ド・モルガン則)

    4. (A ∩ B)' = A' ∪ B' (ド・モルガン則)

などがあります. また覚えておいていい公式に
    5. A ∪ (A'∩ B) = A ∪ B
があります.ところで多くの場合一番大きい集合が決まっています.恒真命題を P(x) としたとき U = {x: P(x)} = {x: True}を全体集合(Universal set)といいます.実際には x の動く範囲に暗黙の制限がある場合が多く, U は実数全体にとられたり自然数全体にとられたりします.また
    6. U ∪ A = U

    7. U ∩ A = A

    8. A' = U ∩ A'

    9. A ∪ A'= U

などが成り立ちます.また次のような例題が考えられます.
    例題  U = {1,2,3,4,5} とし,A = {2,4} としたとき A' はなにか?

    答   U に属する元のうち A に属さないものを考えれば

        A' = {1,3,5}


 補集合を図で表しますと、楕円の外側になります。