確率論CAI Q&A

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>NO.2の問題で
 >No. 2 Let X,Y be a random variable defined as follows:
 >X and Y are real valued functions on a sample space Ω ={(x,y): 0<=x<=1 & 0<=y<=1}, where a probability is>given by width, X satisfies
 >X((x,y))=10x for all (x,y) in Ω.
 >and Y satisfies
 >Y((x,y))=7(x+y) for all (x,y) in Ω.
 >If F is a joint probability distribution of X,Y, input the value F4,1 , down to two places of decimals.
 >
ですが、英語の辞書で何度も意味を調べてみたのですが問題が何を意味しているのかいまいち
 >
ピンとこなくて問題が解けません。
 
 Ans.

同時確率分布関数を求める問題です。F(x0,y0)=P{(x,y): X(x,y)<=x0,Y(x,y)<=y0} で求まるはずです。
どこかにIT生の質疑のページがあると思います。なかったら自分でブログを立ち上げてください。
上の質問を2つに分けます。1.は問題の訳。2.はその解き方です。ブログのURLを
私に知らせてください。そしたらコメントとして私が回答を書き込みましょう。そうすれば
他の人の参考にもなるでしょうから...
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>
問題は、Y((x,y))=11(x+y)のとき、その分散V(Y)を求める問題です。

>
>CAI
の解答は20.16です。私の解法はどこかが根本的に間違っていると思うのです
が、
>
自分では、どこが間違っているか分かりません。
>
間違いをご指摘いただけると幸いです。
>
解答手順として
>
. μの範囲を場合分けしてx,yの範囲を求める
>
@ 0≦μ≦11の時 0≦y≦μ/11-x 0≦x≦μ/11
>
A 11<μ≦22の時 0≦y≦1の時  0≦x≦μ/11-1
> 0≦y≦μ/11-x
の時 μ/11-1≦x≦1
>
>2. μ
の範囲で F[Y],V(Y)=E(Y^2)を求める。
>
>
@の範囲の場合
> F[Y]=∫[0,μ/11]∫[0,μ/11-x]dydx
> =(μ/11)^2/2
> dF[Y]μ/dμ=p(μ)=μ/11^2
> E(Y^2)=∫[0,11]μ^2*μ/11^2dμ=30.25
>
>
Aの範囲の場合
> F[Y]=∫[0,μ/11-1]∫[0,1]dydx
>+∫[μ/11-1,1]∫[0,μ/11-x]dydx
> =(μ/11)^2/2 + 2/11*μ -1
> dF[Y]μ/dμ=p(μ)=2/11-μ/11^2
> E[Y^2]=∫[11,22]μ^2(2/11-μ/11^2)du=625.14
>
>
よって、 V(Y)=@+Aの分散の和=655.39
>
となります。

 

Ans.
これは直接計算すればいいのです。上の場合分けは意味不明です。
E(Y)=∫[0,1]∫[0,1] 11(x+y)dxdy =∫[0,1] [11/2*x^2+11yx]_0^1 dy
= ∫[0,1] (11/2+11y)dy = [11/2*y+11/2*y^2]_0^1 = 11
E(Y^2)=∫[0,1] ∫[0,1] (11(x+y))^2 dxdy
= ∫[0,1] (121*(x^2+2*x*y+y^2)dxdy
= ∫[0,1] [121*(1/3*x^3+x^2*y+y^2*x)]_0^1 dxdy
= ∫[0,1] 121*(1/3+y+y^2) dxdy
= 121*[1/3*y+1/2*y^2+1/3*y^3]_0^1
=121*(5/6+2/6) =121*7/6
V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2=121*7/6-121=121/6=20.16
となります。
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