6.2 平均値などの別の表現

  3. リーマン−スティルチェス積分



関数とします.
これに対して,



単調増加,右連続とします.
即ち,単調増加というのは,



のときです.

今,



を次のように定義します.

それは,実数軸を区間

に分けます.
幅はΔ.




この時,次の式を考えます.



ここに,の中点です.

△を細かくしていって,この値が,に収束した時,この極値のリーマン-スティルチェス(Rieman-Stieltjes Integral)積分といい,
次のように書きます.



注意するのは,通常の積分では,



の部分は△で,△を0に持っていった時に,の極限をとすると,



と書き,積分の定義とするわけです.
このの代わりにというような関数を使うのが,「リーマン−スティルチェス積分」です.

この関数を見るとわかるのですが,
の平均値は,



と書けます.