6.2 平均値などの別の表現

  1. 定理

:確率変数とします.
の確率分布です.
:確率密度関数(これは存在すると仮定)です.

そうすると,平均値について,

定理

このような積分形で表せます.

理由:



というのは,△を分割の幅として,



と書けます.但しはある区間を考え,その外で0とします.ここで,
におけるの値です.

これはどういうことかというと,と分点があるとします.
そうすると,下図のような形をしています.

この青線の区間,例えば2番目とすると,この区間をとします.これは事象です.



の確率は,.一般に,

の確率は,



となっています.

その時,値がにおけるの値です.
ですから,ちょうど平均の式になっています.
△というのは幅を表します.

よって,



よって,



となります.

よって,の平均値は

となります.

同様にして,
0の回りの分散は,



となります.

普通の分散は,



但し,

となります.