6.1 分布関数・確率密度の定義

  2-2. 例2

サンプルNo.は1から10まで,サイズは下の表とします.

サンプルNo.
サンプルの直径d(mm)
1
2.4
2
1.3
3
1.2
4
2.4
5
1.1
6
1.7
7
1.3
8
1.2
9
2.2
10
2.0

この,サイズのd,これは確率変数と考えられます.
そうすると,dの確率分布Φλはどうなるでしょう.
1番小さい値はNo.5の1.1です.
1.1に例えば1.1より小さいΦ0というのを考えてください.
そうすると,これはが0以下になるような確率です.

そうすると,この表を見ると,0より小さいサイズはないですから,ここが0になります.
同様にマイナスの値も0です.
1.1になるまでは0です.そして,1.1になった途端に,1.1とは,1人,1人というのは,ここは跳ね上がります.
そして次の人,1.2の2人まで,1.2は2人ですので,1.2以下の人は3人いるということになります.
それまではで推移します.
1.1の時,横軸はです.
次は,で,この増加量が1.2の人,No.3,No8の人.
で,3番目の人は1.3ですからここまでは同じ値で推移して,次は1.3は2人,ですからここで半分まで来ます.
1.3の次は1.7,これは1人います.ですからここでになります.
で,どこまで続くかというと,1.7の次のサンプルはNo.10の2.0です.
1.7から2.0に飛びます.ここまででいいです.
2.0の次は9番目の2.2は1つだけで横軸は
2.2の次は2.4,これは2つあります.
ここはもう全部,100%になります.




このようなグラフがΦλです.階段状のグラフになっています.
このように,右から来ると黒丸に行き当たります.
不連続としても右から,来たときは連続と考えられます(これは右連続という).
また上から来たときも連続と考えられます(これを上半(じょうはん)連続という).
この場合は右連続も上半連続も同じ意味になります.

上半連続の定義ですが,



です.ここで、下向き矢印は,右から近づける(上から近づける),という意味です.

左から近づけるとあくまでも0に近づきますが,0の極限は0です。しかしは黒丸の方なのでです.
従って,左から行くと等しくなりません.右から行くと等しくなります.拡大するとこうなっています.




です.右から来た場合は,…で極限もです.
左から来ると0,0,0,…で極限も0です.
よって,



これはと等しくなりません.
つまり左から行くと,にはなりません.右から行くとと等しくなるのです.