4.2 マルコフ連鎖

  1. マルコフ連鎖の定義

今,



このような,無限のフィールドを考えてみましょう.

番目の時刻に関する事象の集まり,とします.

時刻は,連続的なものですが,分単位で区切るとすると, 時刻を整数で表すことが出来ます.
すなわち,何番目の時刻というように表すことが出来ます.

さて,各時点でサイコロを振ります.

そうすると,次のようないろいろな事象を考えることが出来ます.

A={3番目の時点で偶数が出る}
B={4番目の時点で3以上が出る}
C={1番目の時点で3以下が出る}



ここで,番目の時点に関するもののみの事象だけを集めたものをとします(=1,2,3,…).

さらに事象には,複雑なものが考えられます.
1番目の時点で3が出て,3番目の時点で5が出る,という事象も考えられます.
この場合,1番目の時点と3番目の時点の両方に関係しているので,この事象は, の事象には入りません.
これは両方の時点にまたがったものだからです.

さて,今,に着目すると,条件付確率が考えられます.




とすると,

条件付確率が得られます.
これにより,確率行列が得られます.
は隣り合っています.

この時,
  1. の場所によらずは一定と仮定します(は一定とは限らない).

  2. なる任意の事象に対し,



    1,2,をみたす時に,

    …を「マルコフ連鎖(Markov Chain)」といいます.

    マルコフ連鎖は考慮すべき過去が1つ前の時点のみの過程(process)です.
    古い過去は考慮せず,1つ前の過去だけ考慮すれば,事象の確率が計算できます(従ってこの過程は条件付確率と確率行列だけで決まる).
    例えていえば,記憶力が悪く,昨日の事のみおぼえており,一昨日以前の事はおぼえていない人の行動のようです.