体 Z/Zp(field)

 

整数もそうですが一般に環というのは除算では閉じていません。しかし

剰余環Z/Zmにおいてmが素数(prime number)のときは

Z/Zmは(不思議にも)除算においても閉じてしまうのです(ただし0

による割り算は除く)。このように加減乗除で閉じている集合を(0による

除算を除く、とか分配法則など他の若干の条件はつきますが)

体(たい、field)といいます。実数全体の集合は体です(実数体)。

複素数全体の集合も体です(複素数体)。素数はよくpの文字であらわしますので、剰余環Z/Zpは体になる、というわけです。

例えば5は素数ですのでZ/Z5の乗除の演算を表にしてみますと

(除算は左下割る右上,また/は演算が不能ということ)、

   × | 0 1 2 3 4   ÷ | 0 1 2 3 4

―――――――――――――――   ―――――――――――――――

   0 | 0 0 0 0 0   0 | 0 0 0 0 0

   1 | 0 1 2 3 4   1 | / 1 3 2 4

   2 | 0 2 4 1 3   2 | / 2 1 4 3

   3 | 0 3 1 4 2   3 | / 3 4 1 2

   4 | 0 4 3 2 1   4 | / 4 2 3 1

除算の表をどのようにつくったかわかりますか? 例えば3÷4を求めるとき

乗算の表から 4x=3 になる数を求めるのです。この場合2であることが

わかります。乗算の表において横の各行に全ての

数があらわれないと、3x=2 などの式をみたすxは探せないのですが、m

が素数ですとそれがいつもうまくゆくのです(いくつかのケースで自分で試し

てみてください)。

 

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