剰余環 Z/Zm(residue ring)

 

整数の全体は加減と乗算で閉じています(除算では閉じていない)。閉じて

いる、という意味は整数どうしをその演算で計算すると結果がまた整数にな

る、という意味です。4÷5 の結果は整数でありませんから一般に除算で

は閉じていないのです。整数の全体をZという文字であらわすと

   Z は加減と乗算で閉じている

といえます。このように加減と乗算で閉じている集合を、

環(かん、ring)といいます(Zを整数環といいます)。

mod 7の合同式で考えると

「0と7の間の数」は加減と乗算で閉じていますので、環です。これを

(整数環の)剰余環といい、Z/Zm であらわします(m として7)。

 例えばZ/Z4という剰余環がどのようなものか、加乗演算を表にしてみま

しょう。

   + | 0 1 2 3     × | 0 1 2 3

―――――――――――――――   ―――――――――――――――

   0 | 0 1 2 3     0 | 0 0 0 0

   1 | 1 2 3 0     1 | 0 1 2 3

   2 | 2 3 0 1     2 | 0 2 0 2

   3 | 3 0 1 2     3 | 0 3 2 1

 

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