合同式の方程式(equation of congruence)

 

 合同式を使って方程式がつくれます。例えば

      n ≡ 3 (mod 7)      (1)

なるnを求めよ、というようなものです。これは

     n−3=q×7  すなわち  n=7q+3

をみたすすべての整数です。ここにqは任意の整数なので

q = -2, -1, 0, 1, 2,...

などとすると

n = -11, -4, 3, 10, 17,...

などが得られます。つまり答えは無限にあるのですが、0と6の間に

あるものは3だけです。「0と6の間」の6というのは mod 7

の7から1を引いたものです。すべての整数は、7で割ると余りは0,

1,2,3,4,5,6のいずれかになりますから、「0と6の間」の

いずれかの数に(7を法として)合同になるのです。問題によっては

nとして「0と6の間」の数を一つ答えればいいこともあります。

方程式をより複雑にすることもできます。

     n+5 ≡ 3 (mod 7)

をみたす0と6の間の数を求めなさい、という問題です。

このように定数が加減されているときは、自由に通常の等式のときの

ように移項できます。上の場合は

      n≡3−5 (mod 7)

よって   n=7q−2

です。qに1を入れると n=5 になりこれは0と6の間ですので

この5が答えになります。このようにqを、nが0と6の間にくるように

適当に(各自工夫をしてください)選べばいいのです。

 

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