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ブール多項式環の商環

目次

イデアル

商環

多項式環の商環

ブール多項式環の商環

TEST

 ブール多項式環を考えましょう。イデアルとしてx^3+1という多項式による 単項イデアルを選びます。このときの商環は2次以下の多項式の全体と考え られます。それらの多項式間の(商環としての)積は前節と同じように計算 します(積をとり次にx^3+1で割って余りを求める)。但し計算はブール環 としてのものですので、積は1と0の間の通常の積でいいのですが和と差は

       a+b=a xor b =a-b

で行います。

例 ブール多項式環とその x^3+1 による単項イデアルによる商環の積演算で  x^2+x と x^2+1 を計算すると結果の2次多項式の係数を高次のも のから列挙しなさい。

答え (x^2+x)*(x^2+1)=x^4+x^2+x^3+x=x^4+x^3+x^2+x
   これを x^3+1 で割って余りを求めると

             __x_+1_________________________
  x^3+     1 |x^4+x^3+x^2 +x
          - __x^4_________+x_____
                  x^3+x^2
          - ______x^3_________+1
                      x^2     +1
よって答えは 1,0,1 である。