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多項式環の商環

目次

イデアル

商環

多項式環の商環

ブール多項式環の商環

TEST

実数を係数とする(変数はiの)多項式環において、イデアルは i^2+1 (i自乗+1) の倍数の多項式全体とします(これはi^2+1を因子とするともの全体です)。 即ちi^2+1による単項イデアルを考えます。

 このとき商環は、 ai+b の形の元の全体になります(代表元を考えたとき)。 これは高次の多項式も i^2+1 で割ると余りは一次式になるからです。 この商環における加算は通常の多項式の和になります。即ち

            (ai+b)+(ci+d)=(a+c)i+(b+d)

またこの商環における乗算は、まず通常の多項式の積をもとめ、次に i^2+1 で割った 余りをもとめればいいのです(それは一次式になります)。即ち

 まず  (ai+b)*(ci+d)=aci^2+(ad+bc)*i+bd となりこれを i^2+1 で割ると

                          ___ac_____________________
              i^2     +1  | aci^2   +(ad+bc)i +bd
                            aci^2             +ac
                          - ________________________
            (ad+bc)i+bd-ac

となります。即ち積は、上の余りである (ad+bc)i+(bd-ac) となります。面白いことは これが iを虚数とみたときの複素数同士の積に一致していることです。