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商環

目次

イデアル

商環

多項式環の商環

ブール多項式環の商環

TEST

(S,+,0,−,*,1)を環としIをイデアルとします。いまSの部分集合を 元とする集合Qを考えましょう(集合の集合を集合族ということがあります)。 Qが商環であるとは

 1. 任意のSの元 z に対し z∈B となる Q の元 B が存在する。
 2. 任意の A ∈ Q において、任意の 元 x∈A に対し
      y∈Q である必要十分条件は  x-y∈I

の2つがいえるときです。このときQには和と積がもとの環の演算から導入でき、 環になることが示せます。Qの元Aは集合ですので、さらにAの元(たとえばa) が考えられます。そのようなaをAの代表元といいます。代表元だけを 集めた集合Q’をQの代わりに考えることがあります(この方が考えやすい)。

例 整数環において、イデアルは整数pの倍数の全体Zpとします。このときの 商環は(代表元で考える) {0,1,2,...,p-1} となります。加算乗算は mod p で考えます(結果をpで割った余り)。

例2 行列環において行列式が0の行列の全体はイデアルになります。その場合の 商環は行列式が等しい行列同士の全体を一つの元と考えたものになります。これは 実数環と同型(演算が同じ)です。