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イデアル

目次

イデアル

商環

多項式環の商環

ブール多項式環の商環

TEST

(S,+,0,−,*,1)を環とします。Sの部分集合Iで

   任意の x ∈ S と 任意の y ∈ I に対し x*y ∈ I

が成り立ち((∀x)( x*I ⊆I) という書き方もできます)、かつ

   任意の x ∈ S と 任意の y ∈ I に対し y*x ∈ I
((∀x)( I*x ⊆I))

がいえるときIを(環の)イデアル Idealといいます。

例1 整数の全体(Zと書く)のうち偶数の全体(Z2)はイデアルです。 なぜなら任意の整数 z と偶数 m の積はまた偶数になるからです。 もっと一般に任意の整数 p を考え p の倍数の全体 Zp を考えると これもイデアルになります。

例2 実数環においては0だけの部分集合{0}と実数全体Rの2つしか イデアルはありません。これらはトリビアルなイデアルといい、 どんな環にも存在します。トリビアルなイデアルしかもたない環を単純環 Simple Ring といいます。

例3 実数係数の多項式環においてある多項式(例えば x^2 +1)で割り切 れる多項式の全体はイデアルになります。一般にイデアルIがある元 a の 倍数になっているとき、即ち I=S*a*S のとき I を単項イデアルPrincipal Idealまたは主イデアルといいます。