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ブール環

目次

多項式環

ブール環

ブール多項式環

TEST

 環の最も単純な例は要素が0と1だけからなる環です。和は exclusive  or(xor または + で表記)で、積は and (and または ・ で表記) です。すると

     x and (y xor z)=(x and y) xor (x and z)

が成り立ちます。これは和と積の間の分配則に他なりません。なお上の式の証明は

         x y z   |   x and (y xor z)    (x and y) xor (x and z)
     ---------------------------------------------------------------
         0 0 0   |      0                   0      0       0
         0 0 1   |      0                   0      0       0
         .................
のように真理値表を作って全ての変数の値の組み合わせについてチェックしてみれば よいのです。 このような環 ({0,1},xor,0,-,and,1) をブール環と呼びます。ここで和の逆元 演算 −は -0=0, -1=1 と考えます。また a-b=a+(-b)で引き算を定義します。 xor と and に関して普通の和や積のように計算ができます。

例 次の式をブール環の式として計算しなさい。

     1+(0+1)・1-(1+1)・0

答え 与式=1+(1)・1-(0)・0=1+1-0=0-0=0+(-0)=0+0=0