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目次

多項式環

ブール環

ブール多項式環

TEST

(S,+,0,−,*,1)のような6つの組を考えましょう。もし (S,+,0,−)が可換群(アーベル群または加群ともいう)であり、 (S,*,1)がモノイドであり
2つの演算+と*の間に分配則が成立するとき、この6つ組を環(ring) といいます。ここで分配則というのは任意のSの元x,y,zに対し

     x*(y+z)=x*y+x*z
     (y+z)*x=y*x+z*x

がいえるということです。
  このように2つの演算+と*をもった代数系はたくさんあります。

例1 整数の全体(Zと書く)は加算+と乗算×をもっており、分配則が 成り立ちますから、環になります。これを整数環といいます。
例2 勿論実数の全体も環になります。そのほか有理数の全体、複素数の 全体なども環になります。
例3 n−n行列の全体も行列同士の和、および行列の積で環になります。 これを行列環といいます。
例4 実数係数の多項式の全体(R[x]と書きます)も多項式同士の和と 積で環になります。これを多項式環といいます。