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正方形を動かす4

目次

正方形を動かす1

正方形を動かす2

正方形を動かす3

正方形を動かす4

TEST

 前節の表をみると(全ての場合をチェックするのは容易でありませんが),動かし方の 合成を二項演算とみたとき,結合律が成立しています(つまり半群になっています). 更に単位元が存在します(それは 1u です).よってモノイドです.また逆元も 存在します.それは前節の表(このような表を群表とか乗積表group table, multipli- cation tableといいます)の各行各列に必ず単位元1uがひとつ存在することからわかり ます.つまり正方形を動かす方法は群をなすのです.

 正方形にかぎらず図形を動かす方法はみな群をなします.図形に対称性が多いほど その群は多くの元をもちます(対称性が全くないと単位元だけの群になります). また2次元図形だけでなく3次元の立体もその(みかけのかわらない)動かし方は 群をなします.立体に対称性が多いほどその群は多くの元をもちます.このような 群を「結晶群」と呼びます.この群を調べることで実際の結晶の研究や分類ができる のです.

 それではつぎにテストの準備としての例題を示します.
例 対角線/で裏返し,対角線\で裏返し,逆時計方向の90度回転の逆をすること は,どのような動かし方と同じか?(1dのような記号で答えよ)
 答え  前節と前前節より上の記述は  3d・1d・(2u)~' を求めることになる. ここで2uの逆元 (2u)~' は表より 4u になる.前節の表から(自分で行を足して みなければいけないが)3d・1d=3u となる.最後に 3u・4u は 2u になりこれが答え である.