Animated Logo

半群

目次

二項代数

半群

モノイド

TEST

(A,f) を二項代数としましょう.今

(∀x)(∀y)(∀z)(x∈A and y∈A and z∈A imp f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)))

がいえるとき,f は結合則あるいは結合律(Associativity)を満たすといい, (A,f)を半群(Semi group)といいます.

 例1 (R,+) や (R,×) は実数の加法や乗法が結合則を満たすことから半群になっています.

 例2 A={1,2} とし f は演算表で, f=((1,1),(1,2)) と与えます.このとき (x,y,z) の組み合わせは 2×2×2=8 あります.その8つについて結合律が成り立つかを確かめれば,(A,f) が半群であるかどうかの判定ができます.確かめかたは

        x  y  z |    f(f(x,y),z)     f(x,f(y,z))
      ─────────────────────
       1  1  1 |    f(1,1)=1         f(1,1)=1    
        1  1  2 |    f(1,2)=1         f(1,1)=1
        1  2  1 |    f(1,1)=1         f(1,1)=1
        1  2  2 |    f(1,2)=1         f(1,2)=1     このように左右が各行において
       2  1  1 |    f(1,1)=1         f(2,1)=1  等しいので f は結合律を満し
        2  1  2 |    f(1,2)=1         f(2,1)=1  ({1,2},f) は半群であることが
        2  2  1 |    f(2,1)=1         f(2,1)=1  分かります. この f は xとy
        2  2  2 |    f(2,2)=2         f(2,2)=2    の小さな方をとる演算です.