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モノイド

目次

二項代数

半群

モノイド

TEST

(A,f) を半群とします.従って結合律を満たすとします.今 A に属する e が

        (∀x)(x∈A imp f(e,x)=x and f(x,e)=x)

を満たす時 e を (A,f) の単位元(identity, unity)といいます. また (A,f,e)をモノイド(Monoid)といいます.

 例1 (R,+) においては 0 が単位元です.それは

          0+x=x and x+0=x

が任意の実数 x についていえるからです.よって (R,+,0) はモノイドです.また (R,×) においては 1 が単位元です.それは

          1×x=x and x×1=x

が任意の実数 x についていえるからです.よって (R,×,1) はモノイドです.

例2 A={False,True} とし f(x,y)= (x or y) とします. つまり論理演算 or を二項演算と考えます.すると or に関する結合律から (A,or) は半群であることはすぐに分かります.そして A の元 False について

          (False or x)=x かつ  (x or False)=x

がいえますので F は (A,or) の単位元であり, (A,or,False) はモノイドです.