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目次

二項代数

半群

モノイド

TEST

(A,f,e) をモノイドとします.今 A に属する x について

       (∃y)(f(y,x)=e and f(x,y)=e)

を満たす時x は逆元(Inverse element)を持つといい,このような y を x の逆元(Inverse element)といいます. y1, y2 が両方とも x の逆元ならば

        y1 = f(y1,e)

         = f(y1,f(x,y2))

         = f(f(y1,x),y2)

         = f(e,y2)

         =y2

となりますので, y1=y2 となります. どの元 x にも逆元が存在するとき (A,f,e) を群(Group)といいます.このとき任意の x に(上のように一意にきまる)逆元を対応させることができます.この対応を

          -1
         x        または x~' (x のマイナス 1乗)

などと書きます. Inverse の演算を Iv としたとき ( Iv(x)=x~') (A,f,e,Iv) を群ということもあります.

 例1 (R,+,0) においては Inverse の演算 Iv は Iv(x)=-x です.それは

          -x +x =0 and x+(-x)=0

がいえるからです.よって (R,+,0,-) は群です.