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二項代数

目次

二項代数

半群

モノイド

TEST

A を集合とし,A×A を直積集合とします. f を A×A から A への写像とします.このとき f をA の上の二項演算(Binary operation)といい,対(A,f)を二項代数(Binary algebra)といいます.(x,y)∈A×A としたとき f((x,y))∈A が決まりますが,これを演算結果(result of operation)といいます. そして,簡単のために f((x,y))を f(x,y) と略して書きます.つまり変数を2つもつ写像とみることができます.
 例1  A を実数全体の集合 R としたとき, 実数 x に対し(x∈R)
         f(x,y)=x+y
        とすると f は二項演算であり, (R,f) あるいは (R,+) は二項代数です.
         g(x,y)=x×y  
        とすると g も二項演算であり, (R,g) あるいは (R,×) は二項代数です.
 例2  A={1,2,3} としたとき f(x,y) を次のような表で与えます.
     f|  1  2  3        この表は f(x,y) の値が x行目 y列目
         ──────               に2次元的に記入されているのです. xが
         1|  2  3  1        左の縦の方で, yが上の横の方です. これで
         2|  1  2  2          完全に f の値を決めることができます. 
         3|  2  3  2          このような表を演算表(Operation table)といい
ます. この演算表 f も二項演算です. 演算表を略記して f=((2,3,1),(1,2,2),(2,3,2))のように書くこともあります.