第8章 複素積分
§1 定義
 複素平面内の一つの曲線は
  C={z: z=f(t) & T1t & tT2
という集合として定義できます。すなわち fという実数から複素数への連続関数
によってパラメータ表示するわけです。パラメータの範囲は [T1,T2] という
閉区間です。
 
 複素関数 k(z) 曲線C上の積分(integral over C
     = lim
で定義されます(右辺の極限が存在するとき)。ここで
}は区間[T1,T2]の分割で、{}は曲線C上の分割になります。
lim はこれらの分割を十分細かくしてゆく、ということです(下図)。

          

定理 複素関数 k(z)を次のように実部k1と虚部k2に分解して考える。
        k(z) = k(x,y)=k1(x,y)+i k2(x,y)
すると
       =   
            + i
となる(全ての積分が存在するとき)。
証明 今、f(t)=f1(t)+i f2(t) とする。f1(t),f2(t) は実数値関数である。
    = lim  
    = lim  


lim

 + )
 + i
                         証明終わり

この複素積分においても、積分の公式の多くが成立します。
公式1 複素数あるいは実数 について   = 
公式2   =   + 

公式3   =   − 

また次のような、複素積分特有の公式も成立します。

公式3 曲線Cが下図のように一点z0で曲線C1と曲線C2に分けられるとき、


       =   + 
がいえる。

公式4 曲線Cは
  C={z: z=f(-t) & -T2t & t-T1
というようにも表せます。これは曲線を逆向きに考えていることになります。
このように考えた曲線を C’ とすると、
          = -

例1 k(z)=z とすると、