第7章 指数関数と三角関数
§2 指数関数
 指数関数は複素数に拡張して考えることができます。その定義は前章の
冪級数を使ってなされます。

定義 冪級数   を  あるいは exp(z) または exp z
と書き、指数関数(変数は複素数z ,値は複素数)という。

定理 冪級数   の収束半径は  である。
証明 前節のダランベルの公式より
 R=  =  =  = ∞.
                     (証明終り)
 収束半径がということは、冪級数   はどんな複素数z に
対しても収束するということです。すなわち指数関数の定義域は複素数全体
になります。
 複素数の指数関数に関しても、次のような加法定理(additive law)が成り立ち
ます。

定理(指数関数の加法定理)     = 
証明  = ()()= 
      =       証明終り

 指数関数と同じように、複素数の余弦関数(cosine function
正弦関数(sine functionを次のように定義します。

定義    cos z =    sin x =

これらの収束半径もであることが証明できます。
 級数の形から次のオイラーの関係がいえます。
定理(L. Euler)
     = cos z +i sin z

定理(指数関数の周期性)
       = 
証明 指数関数の加法性と
      =cos 2π + i sin 2π = 1
なる式(オイラーの関係から導かれる)より明らか。
                  証明終り

 tを実数としますと、 という関数は特別の意味を持っています。
オイラーの公式から、
         = cos t +i sin t= cos t +(sin t)i
が言え、cos t sin t も実数ですので、 は複素平面上で
単位円上の点で表され、その偏角はt(ラジアン)になるのです(下図)。




また次の式が成り立つことは容易に示せます。
定理 
     cos z = ),
     sin z =