第7章 冪級数続き
§1 ダランベルの公式
 冪級数の収束性に関し次の定理があります。これは
ダランベの公式(d'Alembert's Formulaと呼ばれ、次節で述べる
指数関数の収束をいうときなどに有効です。

定理(d'Alembert)冪級数  について、その収束半径をRとすると
  が存在すれば、 R=  となる。

証明  が存在すると仮定する。それを R1 とおく。
 R1>0 とする。 
 今 z0 なる複素数を任意にとると、
   =   = /R1  (1)
  < R1 とすれば、/R1k <1 となる k を選べる。すると
 ある N が存在して、任意の n>N に対して
    k
  よって    k
  従って   
0より  は絶対収束する。
 次に  > R1 とする。すると(1)式は1より大。よって
あるNより先の全ての n に対し
      > 
よって  は発散する。
 以上からR1は収束半径Rである。
                (証明終り)