第5章 複素関数の微分
§2 複素微分
  今、複素数を複素数に変換する写像(関数)f(z) を考えます。
もし次のような極限値が存在するとします。
      ( と書きます)
このときfは点z0で微分可能(differenciable)といい、
この極限値 f'(z0) をfの点z0における微分(differencial)といいます
または微分係数(differential coefficient)といいます。
(注:一般に写像g(z)のz0での極限値aというのは
(All e)(e is Real & e>0 implies (Exist r)(r is Real &r>0&
(All z)(z is Complex & z<>z0 & |z-z0|
という論理式で書けるときです。 すなわちz0の周りの点zを限りなく
z0に近づければ、g(z)は点aに限りなく近づく、というものです)。
 f  がz0の近傍(z0を中心とするある円の内側)の点全てで微分可能の
とき(勿論z0でも微分可能)、f は点z0で正則(regular)である
といいます。

定理1 写像f は点z0で微分可能ならば、その点で連続である。
 証明  f(z) = (f(z0)-f(z0)+f(z)) = (f(z0)+(f(z)-f(z0))/(z-z0)*(z-z0))

   =f(z0)+f'(z0)*(z-z0)
   =f(z0)
 よって連続である。

定理2 写像f、gがz0で微分可能ならば
 uf (uは複素数または実数), f+g, f-g, fg, f/g
も微分可能である(但し f/g の場合は g(z0)0 を仮定)。そして
それぞれの場合の微分値は
   uf', f'+g', f'-g', f'g+fg', (f'g-fg')/g
となる。
 証明 実数の関数の微分の場合と同様である。

例1 線形変換の微分 行列 A によって f(z)=zA  と表せるとすると
この変換が微分可能であるためにはAの対角要素が等しくかつ交代行列
(ij なら aij=-aji) となることである。
理由:
  f'(z0)=lim =lim  = lim
    =  
ここで z=(z1,z2) とし、A= とすると、
 zA = r11z1+r21z2+(r12z1+r22z2)i
 zA/z =(zA)z*'/|z|^2 =((r11z1+r21z2+(r12z1+r22z2)i)z1
          -(r11z1+r21z2+(r12z1+r22z2)i)z2i)/|z|^2
           =((r11z1+r21z2)z1+(r12z1+r22z2)z2
          +((r12z1+r22z2)z1-(r11z1+r21z2)z2)i)/|z|^2
ここでz=r (実数)とするとz2=0 で、|z|=z1 だから、
 zA/z=r11z1^2/z1^2+r12z1^2i/z1^2 =r11+r12i   (1)
また z=ri (純虚数)とするとz1=0で、|z|=z2 だから、
 zA/z=r22z2^2/z2^2+r21z2^2i/z2^2
    =r22-r21i
これは(1)と等しいから
   r11=r22, r12=-r21
よってAは
     
という形をしていなくてはいけない。その微分値は点z0に依存せず一定で
r11+r12i
である。