第3章 共役複素数
§2 公式
 共役複素数に関し、次のような公式が成立します。
公式1 Re (z*’)=Re z かつ Im (z*’)=−Im z
   ( Re  =z かつ Im  = −z )

公式2 (0c)*’= 0c かつ 1*’=1
   (  = 0c かつ  =1 )
公式3 (z1+z2)*’=z1*’+z2*’
    (  = +  )
公式4  (−z)*’= −(z*’)
    (  = −    )
公式5 (z1−z2)*’=z1*’ − z2*’
    (  =  −  )
公式6 (z1z2)*’=(z1)*’ (z2)*’
    (  =    )
公式7 (z1/z2)*’=(z1)*’/ (z2)*’
    (  =  /  )
公式8* Im z=0  なる必要十分条件は z*’=z
   特に 1*’=1, 2*’=2, 3*’=3, 4*’=4
公式9*     (z*’)=|z|

ここでひとつの例題を紹介します。

 例題 複素数zが
    
を満たせばzの共役複素数もこの方程式を満たすことを示しなさい。
 答 上の方程式の両辺の共役複素数を考えて、上の公式2を適用すれば
  
この左辺は公式3,5,6,8を適用していけば、
  
がいえる。これはzの共役複素数 z*’ が同じ方程式を満たすということで
ある。

 上の例題は任意の高次の方程式について、係数が実数なら成立します。

 次のような2次程式においては
    
解は解の公式より
   
となります(判別式が負のため、虚数解になります)が、
これは =− i という複素数が
一つの解で、その共役複素数 x*’= − i がもうひとつの解
になることを示しています。すなわち、それは
      
です。