ベジェ(Bezier)曲線
目次
第１節 概要
第４章 ベジェ(Bezier)曲線
第３節 ３次ベジェ曲線
１．３次ベジェ曲線
４つの制御点で表現されるベジェ曲線を、３次ベジェ曲線といいます。
４つの制御点をA、B、C、Dとすると、ベジェ曲線は、点Aから始まり、点B、Cに制御され、点Dで終わる曲線となります。
●３次ベジェ曲線の例
２．ド・カステリョのアルゴリズム
ベジェ曲線の定義としては、第２節のところで説明したBernstein多項式で十分ですが、より分かりやすくベジェ曲線を理解するために、ド・カステリョのアルゴリズムと呼ばれるものを紹介します。
これは、n+1個の制御点が与えられたとき、線形補間を繰り返すことでBernstein多項式R(t)を求めるものです。
ここでは簡単のためn=3、つまり制御点を４つとします。
また、パラメータtの範囲は[0,1]です。
●４つの制御点をA、B、C、Dとし、それぞれの制御点の座標を
・A = (0, 0)
・B = (0, 1)
・C = (1, 1)
・D = (1, 0)
とします。
●パラメータtが0.5のとき、つまりR(0.5)を求めるには、線分AB、線分BC、線分CDの始点から0.5のところの点をL、M、Nとします。L、M、Nの座標は
・L = (0, 0.5)
・M = (0.5, 1)
・N = (1, 0.5)
となります。
●線分LM、線分MNの始点から0.5のところの点をS、Tとします。S、Tの座標は
・S = (0.25, 0.75)
・T = (0.75, 0.75)
となります。
●線分STの始点から0.5のところの点をWとします。Wの座標は
・W = (0.5, 0.75)
となります。この点Wが、R(0.5)の点となります。
●同じようにパラメータtが0.25のとき、つまりR(0.25)を求めてみます。線分AB、線分BC、線分CDの始点から0.25のところの点をL、M、Nとします。L、M、Nの座標は
・L = (0, 0.25)
・M = (0.25, 1)
・N = (1, 0.75)
となります。
●線分LM、線分MNの始点から0.25のところの点をS、Tとします。S、Tの座標は
・S = (0.0625, 0.4375)
・T = (0.4375, 0.9375)
となります。
●線分STの始点から0.25のところの点をWとします。Wの座標は
・W = (0.15625, 0.5625)
となります。この点Wが、R(0.25)の点となります。
●これを繰り返し、パラメータtの定義域である[0,1]の間を行うことによって、ベジェ曲線R(t)を求めることができます。
