コンピュータグラフィックス
目次
第１節 パラメトリック曲線とは？
実演 Catmull-Romスプライン曲線
第３章 パラメトリック曲線
第３節 パラメトリック曲線の微分
これから曲線について説明しますが、前節でも説明した通り、曲線は制御点により定義されます。曲線を学ぶ前に、制御点から曲線を定義するために必要な接線ベクトルなどの知識について学びたいと思います。
・パラメトリック曲線の一階微分
パラメータｔがほんの少しΔｔだけ進んだ時の変化を考えます。
変化には方向があるのでここからはベクトルで考えます。
位置ベクトル（空間上の点）の変化は、２つの位置ベクトルの差として求められます。
Δｔが限りなく0に近づくとき、ΔP(x,y,z)のΔｔに対する変化の割合が、１階微分になります。
位置ベクトルの変化量のことを一般的に接線ベクトルと呼びます。
パラメータtを時間にみたてると速度ベクトルとなります。
・パラメトリック曲線の二階微分
パラメータｔがΔｔだけ進んだときの接線ベクトルの変化を考えます。
Δｔが限りなくゼロに近づくとき、Δ（接線ベクトル）のΔｔに対する変化の割合が、２階微分になります。
接線（速度）ベクトルの変化量を加速度ベクトルと呼びます。
こうして求められる加速度ベクトルは接線方向と法線方向の成分に分けれます。
パラメータtを線長を選んだ場合、法線方向の成分のみが現れます。このベクトルのことを曲率ベクトルと呼びます。