テイラー展開

目次


テイラーの定理

1変数の場合のテイラー展開

2変数の場合のテイラー展開

マクローリン展開


テストの前に

テスト

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2変数の場合のテイラー展開
2変数関数 f(x, y) が、点 (a, b) と点 (a+h, b+k) を結ぶ直線を含む領域で連続な n 階偏導関数をもつとする。 このとき

    f(a+h, b+k) = f(a, b) + (hD1 + kD2)f(a, b)
        + 1 (hD1 + kD2)2 f(a, b) + …
    2!
        + 1 (hD1 + kD2)n f(a, b) + Rn+1
    n!

    Rn+1 =   1   (hD1 + kD2)n+1 f(a+θh, b+θk)
    (n-1)!
    (0 < θ < 1)

を満たす θ が存在する。ただし

    D1 =
    ∂x
    D2 =
    ∂y

である。


f(x,y) = x2+y2 の点 (1, 2) におけるテーラー展開は
    f(1, 2) = 5
((x-1)D1+(y-2)D2)f(x,y)
  = (x-1)fx(x, y)+(y-2)fy(x,y)
fx(x, y) = 2x
fy(x, y) = 2y
より
((x-1)D1+(y-2)D2)f(1,2)
= 2(x-1)+4(y-2)
また
((x-1)D1 +(y-2)D2)2f(x,y)
  = (x-1)2fxx(x, y) + (x-1)(y-2)fxy(x,y) + (y-2)(x-1)fyx(x,y) + (y-2)2fyy(x,y)
fxx(x,y) = 2
fxy(x,y) = fyx(x,y) = 0
fyy(x,y) = 2
より
1 ((x-1)D1+(y-2)D2)2f(1,2)
2!
= (x-1)2+(y-2)2
したがって
    f(x,y) = 5 + 2(x-1)+4(y-2) + (x-1)2+(y-2)2